整数的带余除法定理
余数在计算机中非常重要，二进制计算机只能用有限数目的二进制位处理和表示数据。当数据超出这个限制时，会被截断。这个特点可以用余数描述，而余数本身是由整数除法定义的。在小中学阶段就会学习余数，但主要是学习如何求余数，没有提到除法和余数的严格定义，以及对整数的严格定义。这部分内容属于数学中的整数理论。整数集中的除法和余数是由如下事实定义的，其本身也是一个定理，是整数理论的重要基础：
a) 整数的带余除法定理：设\(a,b(b>0)\)为任意整数，存在唯一整数对\(q,r\)，使\(a=bq+r\)，其中\(0\leq r < b\)；
其中\(q,r\)是商和余数，计做\(a\div b = q……r\)，读作a除以b等于q余r。需注意的是上述定义包含了被除数为负的情况，而小中学阶段没有讨论过这种情况。另外这种除法和平时做数学计算的除法有一些区别：
1) 平时使用的数默认是实数，实数集上的常用除法则不是按整数带余除法定义的，虽然实数带余除法定理也定义了种实数中的一种除法，但实数中最常使用的除法还是用分数定义的，数学中并不关心实数中的余数问题(计算机会关心)；
2) 整数带余除法定理没定义除数为负的情况，这种情况是把负号给被除数(被除数也有负号就“负负得正”)；
讨论了这么多，实际上只比小中学多定义了负被除数的余数。“扩展”余数概念使其支持负被除数，对于之后要讨论的内容并不是必要的，但这样能为之后的讨论带来一些方便。
同余关系
为能够借助余数讨论二进制计算方面的问题，要先讨论余数中重要的同余关系。如果\(a,b\)除以\(m\)得到的余数相同，则称\(a,b\)对\(m\)同余，计作\(a\equiv b~(mod~m)\)，其中\(\equiv\)表示在“同余”意义下的相等关系。该式子也称为同余式，其有如下的性质：
1) 设\(a\equiv b~(mod~m), c\equiv d~(mod~m)\)。则\((a\pm c)\equiv (b\pm d)~(mod~m)\)；
2) 设\(a\equiv b~(mod~m), c\equiv d~(mod~m)\)。则\(ac\equiv bd~(mod~m)\)；
\(mod\)还可看作一种计算，比如“\(a~mod~m\)”表示\(a\)除以\(m\)得到的余数值。这种表示下，上述两条性质可推出如下性质：
1) 余数加法定理：\((a\pm b) ~mod~ c = ((a ~mod~ c) \pm (b ~mod~ c)) ~mod~ c\)；
2) 余数乘法定理：\((ab) ~mod~ c = ((a ~mod~ c)(b ~mod~ c)) ~mod~ c\)；
之后主要用\(mod\)表示“求余数”，而不是用来表示“同余式”。
计算机中的余数
计算机和编程语言对余数的处理和上面的整数带余除法并不一样，当被除数或除数为负，计算机或编程语言的除法不一定遵守上述整数除法。更麻烦的是，计算机或编程语言对这种情况也没有统一规范。下面给出部分语言中的\(mod\)结果：
1) \((-7) ~mod~ 3\)的结果：
1.1) C++ (G++)：输出 -1；
1.2) Java 1.6：输出 -1；
1.3) Python 2.6：输出 2；
1.4) Google计算器：输出 2；
2) \(7~mod~(-3) \)的结果：
2.1) C++ (G++ )：输出 1；
2.2) Java 1.6：输出 1；
2.3) Python 2.6：输出 -2；
2.4) Google 计算器：输出 -2；
这里不去管它们各自使用的除法定义，大致定性的分析下即可。首先这些除法都遵守“\(商\times除数 + 余数 = 被除数\)”，而且余数的绝对值小于除数的绝对值。另外就是它们都没有遵守整数带余除法余数必须非负的要求。而且在处理负除数时，也没有像整数除法那样，把负号放到被除数上。这几种除法对商的取值可分为2种风格：
1) 让商尽量靠近0：C++、Java；
2) 让商尽量靠近负无穷：Python、Google计算器；
之后在讨论负数的算术运算时，可能也会遇到这个除法的问题。
另外有的语言还让小数也支持取余数的运算，这在平时的计算中很少遇到。比如有的语言\(1.2 ~mod~ 1 = 0.2\)。
二进制与十六进制整数
（a）
（b）
先讨论数学意义下的二进制非负整数，及其和十进制非负整数的转换。负数和正数在这里区别不大，在前面加上符号即可。但对于计算机中用二进制位表示的二进制数，正负整数间的区别比较大，但这里不讨论这部分内容。
图(a)是二进制数10110001转十进制数177的过程，思路是把10110001拆成1、10000、100000、10000000的和，这样再转化成十进制数就非常容易了。对于十进制数转二进制数。任何十进制数\(N\)都可按(a)方式整理成\(N=a_{0}2^0+a_{1}2^1+a_{2}2^2…\)，其中\(a_k\)等于0或1。如果用(b)的方式连除和求余数，就可依次得到\(a_0,a_1…\)的值，即每个位。
另一种计算机中常见的是十六进制计法，由于十进制只使用0~9这10个字符，所以表示十六进制数时用a-f表示10-15，并加上前缀“0x”，比如0x1e表示十进制30。十六进制与二进制有简便转换的方法，设\(N\)为十进制数，可用上图的方法做二进制或十六进制的分解，从而\(N=\sum a_i2^i=\sum b_i{16}^i\)，其中\(a_i\in [0,1],b_i\in [0,15]\)。该关系使二进制数可从低到高按“每4位1组”转化为1个十六进制位，比如1010111111可从右到左拆为10/1011/1111，分别等于0x2/0xb/0xf，拼接得到0x2bf。十六进制转二进制同理。该方法可行是因为16是2的幂。由于10不是2的幂，所以十进制与二进制间无法使用这种方法。
在实际的计算机硬件中，并不会使用十六进制。十六进制只是人们为了方便“书写”二进制而引入的，因为目前的计算机大多数是32、64位的，能“一次性处理”达32、64个位，这些二进制位很不方便“阅读”。比如人们在讨论ASCII码的“大写字母I”时，更愿意将其写作“0x49”，而非“01001001”。虽然计算机本身是按“01001001”处理的。
二进制小数
二进制小数比二进制整数更复杂，需要先简单讨论有理数和小数的关系。有理数是指分子和分母都是整数的分数，其中分母不为0。而小数是有理数的一种表示方式。比如整数1有1和0.99…两种表示(1=0.99….)。任何进制的小数的定义都是：“在\(k\)进制中，乘\(k\)表示小数点右移1次，除以\(k\)表示左移1次”。任何进制下，有限小数都只能表示部分有理数。但实数理论指出，任何进制下的有限小数和无限循环小数都能一起表示全体有理数集。这方面的数学讨论可参考《数学分析》。
根据上述的小数定义，一个有理数能写成十进制小数当且仅当其能被写成\(A\cdot10^{-x}\)(其中\(A\)为整数，\(x\)为非负整数)，能被写成二进制小数当且仅当其能被写成\(A\cdot2^{-x}\)(其中\(A\)为整数，\(x\)为非负整数)。于是有这样的结论：
b) 二进制有限小数一定能转化为十进制有限小数；
c) 十进制有限小数不一定能转化为二进制有限小数；
想证明上述结论很简单，对于(b)因为10=2*5，所以不停用10乘二进制小数就能把\(2^{-x}\)消掉，多出来的5吸收进\(A\)即可。而对于(c)则是因为无论乘多少次2都无法消掉10=2*5中，5的负幂次。比如十进制0.1就无法用有限二进制小数表示。
小数的这种性质在计算机中导致一些问题，假如一个二进制计算机没有记录循环小数的循环节的能力，那么其在接收到十进制的0.1后，由于无法处理二进制循环小数0.0001100110011…..会截断前面几位，这就是数学意义的精度丢失。