无符号整数的机器级表示
计算机是通过二进制位存储和传输数据的。虽然这些二进制位适合表示二进制数，但还是有一定区别，比如寄存器和总线的位数通常是固定的，另外对于负号、小数点、分数等等都不能直接表示，需要规定一些规则计算机才能处理。这些规则中，最简单的就是对无符号整数的表示，无符号整数顾名思义就是没有符号的整数，也就是自然数。这种表示和数学上的表示几乎没有区别，只需要预先规定好占用的位数，并且需要高位补0，比如在4位无符号整数表示下，3要写作0011，而3对应的二进制数是11。 一般的k位无符号整数，能表示的十进制数范围是闭区间的\([0,2^k–1]\)。
无符号整数的加法
之前讨论行波进位加法器时，没有规定如何处理最低位进位输入、最高位进位输出，这里规定为“忽略最高位进位的输出，最低位进位输入始终保持0”。当两个\(k\)位无符号整数码输入到\(k\)位加法器(\(k\)个1位加法器组成的行波进位加法器)，若结果未超出\(k\)位，那么加法器的输出就是正确的和。但若超出\(k\)位(两个\(k\)位无符号整数码经过加法器最多只能超出1位)，则加法器会忽略掉最高位的进位，剩下的\(k\)位才是最终输出，这种情况称为加法器的溢出，可通过余数描述。在这种规定下，这种\(k\)位加法器就能做\(k\)位无符号整数码的加法，具体这样描述：
a) 若\(a,b\)在\(k\)位无符号整数码的表示范围，将\(a,b\)的\(k\)位无符号整码通过该\(k\)位加法器，把结果看作\(k\)位无符号整码，其表示的值是\((a+b) ~ mod ~ 2^k\)；
之后讨论的其他\(k\)位码的算术运算，加法器默认都指同样位数的\(k\)位加法器。
无符号整数的“按位取反+1”
“按位取反+1”分两步，第一步是逻辑运算的按位取反，第二步是把按位取反的结果按上述加法做+1。“按位取反+1”这种奇怪运算对于计算机很重要，计算机借助该运算能够用“加法”实现“减法”，之后要讨论的补码也与该运算有关。实现按位取反的硬件十分简单，无需讨论其电路，只讨论“按位取反+1”输入的码和输出的码所表示的值的关系。这里直接给出结论：
b) 若\(a\)在\(k\)位无符号整数码的表示范围内，把\(a\)的\(k\)位无符号整码做‘按位取反+1’后的结果看作\(k\)位无符号整码，其表示的值是\((- a) ~mod~ 2^k\)；
所以“按位取反+1”是用于处理“负”和“减法”的一种操作，虽然无符号整数码不能表示负数，但是在余数式中能加上负号。上述结论的正确性容易验证，\(a=0\)时溢出后也等于0。\(a>0\)时，将按位取反+1的结果所表示的值计为\(x\)，由于\(a,x\)的码做加法会溢出且全部位都剩下0，所以\(a+x = 2^k\)，\(x = 2^k – a = (2^k – a) ~mod~ 2^k = (- a) ~mod~ 2^k \)。
无符号整数的减法
减法运算能直接通过一次上述的加法运算、一次上述的“按位取反+1”完成。具体表述如下：
c) 设\(a,b\)都在\(k\)位无符号整数码的取值范围内，将\(a\)的\(k\)位无符号整数码与\(b\)的\(k\)位无符号整数码的“按位取反+1”做上述加法，把结果看作\(k\)位无符号整数码，其表示\((a-b) ~mod~ 2^k\)；
容易验证该结论，加法器输出看作\(k\)位无符号整数码表示\((a + ((- b) ~mod~ 2^k)) ~mod~ 2^k\)。考虑\(a \in [0,2^k – 1]\)，其可写成\(((a ~mod~ 2^k) + ((- b) ~mod~ 2^k)) ~mod~ 2^k\)。用余数加法定理可写成\((a-b) ~mod~ 2^k\)。然后分情况讨论：
1) \(a-b\)在\(k\)位无符号整数码取值范围：则\((a-b) ~mod~ 2^k = a-b\)。说明这种“减法”是正确的；
2) \(a-b\)不在\(k\)位无符号整数码取值范围：这时\(-(2^k-1) \leq a-b<0\)，故\((a-b) ~mod~ 2^k = 2^k+a-b\)。是\(a-b\)不在取值范围内时导致的错误结果。但这个错误结果一定程度上可以“补救”。比如设\(a,b,c,a-b+c\)都在\(k\)位无符号整数码取值范围内，但\(a-b\)是不在取值范围内的。然后假设要计算\(a-b+c\)，会先按上述减法计算\(a-b\)，再按上述加法计算\(+c\)。可以发现虽然做\(a-b\)会得到错误结果，但之后做\(+c\)后却能得到正确的\(a-b+c\)的结果！这一点也很容易验证，因为做完\(+c\)后加法器的输出表示的是\((2^k+a-b+c) ~mod~ 2^k\)，由于\(a-b+c\)在取值范围内，所以其等于\(a-b+c\)；
根据上述(2)，特殊的若\(a,b\)在\(k\)位码表示范围内，\(a,b\)的码做完上述减法，再把结果用上述加法加\(b\)，得到的码表示\(a\)。在之后要讨论的除法的恢复余数法中，这个结论可以保证恢复余数步骤的正确性。
另外还可以发现，只有被减数加上“按位取反+1”后的结果时发生了溢出，才说明\(a-b\)在取值范围内(才得到的是正确的减法结果)，否则如果没有溢出，反而说明得到的不是正确的结果(不够减导致)。
无符号整数的逻辑移位
移位是二进制位中常用的逻辑运算，分为逻辑移位和算术移位。逻辑移位将被用于无符号整数乘法的实现，其规则如上，右移1位是把最低位舍弃，最高位补0，左移1位则是把最高位舍弃，最低位补0。实现移位的电路相对简单，前面讨论组合逻辑电路时，讨论过移位器。所以这里不讨论其电路。逻辑左移与无符号整数码存在这样的关系：
d) 设\(a\)在\(k\)位无符号整数码取值范围内，\(a\)的\(k\)位无符号整数码逻辑左移\(n\)次得到的\(k\)位无符号整数码表示\((a\cdot 2^n) ~mod~ 2^k\)；
换句话说，每逻辑左移1位相当于乘以一次2。
无符号整数的乘法
最基本的乘除法的实现方法是模拟“竖式笔算”，这类实现在国外被称为笔纸算法(Paper-Pencil Algorithm)。乘法竖式的思路是用乘数的每个位去乘以被乘数得到多个“部分积”，然后把所有部分积相加得到积。
上图是二进制数的乘法竖式，左边是没有补齐高位的，右边是补齐高位的。二进制竖式相比其他进制的竖式有个特点，就是每个“部分积”不是0就是被乘数的逻辑左移。所以\(k\)位无符号整数码的乘法可通过让多个逻辑左移后的被乘数的\(k\)位无符号整数码相加实现，这就是乘法的移位相加法。然后看这种方法的具体流程，为方便描述，假设有A,B,C这2个\(k\)位寄存器：
1) A存被乘数的\(k\)位无符号整数码，B存乘数的\(k\)位无符号整数码，C填0；
2) 循环\(k\)次如下的步骤：
2.1) 若当前B最低位是1，用加法器做C=A+C。否则跳过该步骤；
2.2) A逻辑左移1位、B逻辑右移1位；
3) 循环结束后C就是积的\(k\)位无符号整数码；
这里简单的把这种乘法叫保留\(k\)位积乘法。其正确性借助余数性质比较容易证明，最后的结论是这样：
e) 设\(a,b\)都在\(k\)位无符号整数码的取值范围内，将\(a,b\)的\(k\)位无符号整数码做上述保留\(k\)位积的乘法，把结果看作\(k\)位无符号整数码，其表示\(ab ~mod~ 2^k\)；
对于这种被乘数、乘数、积都是\(k\)位无符号整数码的乘法，其会浪费寄存器的位，因为被乘数和乘数如果太大会导致错误的积，所以被乘数和乘数的高位都必须是0。所以实际计算机更多使用被乘数和乘数是\(k\)位，积\(2k\)是位的乘法。这里简单的把这种乘法叫保留\(2k\)位积的乘法，其需要的寄存器是\(2k\)位的A、C和\(k\)位的B，且加法器也是\(2k\)位的，具体流程如下：
1) A低\(k\)位存被乘数的\(k\)位无符号整数码，B存乘数的\(k\)位无符号整数码，A高\(k\)位和C填0；
2) 循环\(k\)次如下的步骤：
2.1) 若当前B最低位是1，用加法器做C=A+C。否则跳过该步骤；
2.2) A逻辑左移1位、B逻辑右移1位；
3) 循环结束后C就是积的\(2k\)位无符号整数码；
由于2个\(k\)位无符号整数码所表示的数的积一定在\(2k\)位无符号整数码的取值范围内，最后的结论是这样：
f) 设\(a,b\)都在\(k\)位无符号整数码的取值范围内，将\(a,b\)的\(k\)位无符号整数码做上述保留\(2k\)位积的乘法，把结果看作\(2k\)位无符号整数码，其表示\(ab\)；
ARM指令集支持这2种乘法，但最常用的是保留\(2k\)位积的乘法，原因有的上面提到了，有的之后的文章会提到。
无符号整数的除法
计算机中的整数除法一般需要能求出商和余数，除法的移位相减法是最简单的笔纸算法，其类似于移位相加乘法的逆过程。这里讨论\(2k\)位被除数和\(k\)位除数的移位相减流程，其需要使用的寄存器是\(2k\)位的A、\(k\)位的B和C。具体如下：
1) A存被除数、B存除数、C置0；
2) 循环\(k\)次如下步骤：
2.1) 将A整体逻辑左移1次；
2.2) 若A高\(k\)位不小于B，做(A高\(k\)位)=(A高\(k\)位)-B，再把A低\(k\)位的最低位设为1。否则什么也不做；
3) 循环结束后，A的高\(k\)位为余数，低\(k\)位为商；
该方法用一个\(2k\)位寄存器同时维护商和余数，模拟了二进制除法竖式。注意步骤(2.2)中要比较A高\(k\)位和B的大小，实际硬件一般不增设数值比较器电路，而是用加法器比大小。比如可“试探性”的做(A高\(k\)位)-B，若“不够减”则按前面讨论的减法步骤可判断，加法器会溢出，根据加法器溢出位即可判断大小。但这种方法还有优化的空间，因为步骤(2.2)第一步的数值比较会占用一次加法器，第二步的“(A高\(k\)位)=(A高\(k\)位)-B”又占用一次加法器，做了2次重复的减法。所以需要进一步调整，这样就能得到恢复余数法，其区别在于把步骤(2.2)替换为如下步骤：
(2.2*) 先做(A高\(k\)位)=(A高\(k\)位)-B。若加法器未溢出，说明A高\(k\)位不小于B，把A低\(k\)位的最低位设为1。若加法器溢出，说明“不够减”，需恢复A高\(k\)位为执行减法前的值(恢复余数)，这只需再做一次加法(A高\(k\)位)=(A高\(k\)位)+B即可；
注意(2.2*)中加法器溢出后，再做一次加法能正确恢复原本的A高\(k\)位。这一步的正确性实际上在前面无符号整数减法中讨论过。可这样描述该加法器下的移位相减除法：
g) 设\(a,b\neq 0\)在\(k\)位码表示范围内，\(a,b\)的码在经上述移位相减后，得到的2个码分别表示的值是\(a\div b\)与\(a~mod~b\)；